Máximo Divisor Comum, Regras do MDC, Como aplicar o MDC

Divisor comun de vários números – é outro número que os divide todos exatamente.
Assim 7 é um divisor comun de 84,203, 1015,porque divide exatamente estes três números. Máximo divisor comum de vários niímeros é o maior número que os divide todos exatamente. Designa-se geralmente a expressão máximo divisorcomum pelas iniciais m.d.c. O cálculo doni.d.c. de dois númerosbaseia-se nas duas propriedades seguintes:

1. Se dois número forem divisiveis um pelo outro,om.d.c. é omenor destes dois números.

É claro que o menor número dividir maior, como já se divide a si mesmo, é um divisor comum aos dois números,além disso é o maximo divisor comum, porque não pode ser dividido por número maior que ele mesmo.

II. Se dois números não forem divisfveis um pelo outro, o mdc. é o mesnio que o do menor e o resto da divisão do maior pelo menor.

Na prática, dispõe-se a operação como abaixo:

Vê-se que os quocientes estão acima dos divisores correspondentes, a fim de se dar o lugar necessário para escrever o resto das divisões sucessivas.

Do que precede deduz-se a regra seguinte:

Regras

Para se calcular o mdc. de dois mímeros, dividi-se o maior pelo menor, e se a divisão não der resto, o menor é o m.d.c. procurado.

Se a divisão não se fizer exatamente, divide-se o menor pelo primeiro resto, depois o primeiro resto pelo segundo, e assim por diante, até que a divisão se faça exatamente. O último divisor empregado éo mdc. procurado.
O m.d.c. é também o resto da penúltima divisão.

Todo número que divide dois outros, divide também seu m.d.c. Assim, o número 4, que divide 1260 e 432, divide também o m.d.c. destes dois números, isto é, 36. Multiplicando-se dois números por um terceiro, seu m.d.c. fica multiplicado por esse terceiro. Assim, se multiplicarmos, no exemplo precedente, os dois números 1260 e 432 por um número qualquer, o m.d.c. será igualmente multiplicado por este número.

Se dividirmos dois números por um terceiro, seu m.d.c. será também dividido por este número.No exemplo precedente, se dividirmos o dividendo e o divisor por um número qualquer, também o m.d.c. ficará dividido por este número.

O m.d.c. de vários números é igual ao produto dos fatores primos comuns aos números propostos, sendo cada um destes fatores tomado com seu menor expoente.

Aplicando a regra acima, temos:

O m.d.c. de 70 e 150 é igual a 2.5=10, pois 70= 2.5.7e 150= 2.3.52.
Sendo dados vários números, determina-se primeiro o m.d.c. de dois deles. Calcula-se depois o m.d.c. entre o número achado e o terceiro número. E assim por diante.